山東大學八大教授？

         “八大教授”是山東大學歷史學科永恒的光榮。20世紀50年代，八位著名的歷史學專家楊向奎教授、童書業(yè)教授、黃云眉教授、張維華教授、陳同燮教授、鄭鶴聲教授、王仲犖教授、趙儷生教授甫聚山東大學歷史系，即以中國古史分期、中國農民戰(zhàn)爭史、中國資本主義萌芽等重大學術話題開端發(fā)皇，因切中時代變遷而引領中國學術潮流，并由此形成“獨斷之學”與“考索之功”并重的學術家風，奠定了山東大學史學發(fā)展之長久格局。

          上庠大木，蔭綠千秋，“八馬同槽”遂成士林傳奇，山東大學亦以“文史見長”而譽薄海澨。

求 數(shù)學傳奇的讀后感

按遺囑分馬

筆者曾遇到過一些中小學生，還有幾位學生家長，他們對一個古老數(shù)學故事的結局持異議，認為答案不符合題目原意，甚至有同學說這個故事是胡說八道。

到底這個數(shù)學故事合不合理？故事中的題目有沒有解？應該怎樣去解？

故事的題目叫做遺囑，是這樣說的：

有一位老人，他有三個兒子和十七匹馬。他在臨終前對他的兒子們說：“我已經寫好了遺囑，我把馬留給你們，你們一定要按我的要求去分?！?

老人去世后，三兄弟看到了遺囑。遺囑上寫著：“我把十七匹馬全都留給我的三個兒子。長子得一半，次子得三分之一，給幼子九分之一。不許流血，不許殺馬。你們必須遵從父親的遺愿！”

這三個兄弟迷惑不解。盡管他們在學校里學習成績都不錯，可是他們還是不會用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血。于是他們就去請教當?shù)匾晃还J的智者。這位智者看了遺囑以后說：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！”

到這兒，這個故事就結束了。

不同意這種結果的同學的意見在于：遺囑所說的一半、三分之一和九分之一，都是相對于17匹馬來說的，并不是對18匹馬來說的，因而智者把自己的一匹馬借給三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分，不符合遺囑原意。

筆者認為，這部分同學之所以不同意故事的結局，是由于對遺囑的要求掌握得不夠全面造成的。筆者要說明，智者的辦法確實是個好辦法。遺囑沒有錯；智者的辦法也不光是一個智力游戲，在數(shù)學上也是完全合理的。

為此，我們先指出一個事實，即：

1/2+1/3+1/9=17/18<1

這就是說：假設姑且不考慮老人關于不許流血、不許殺馬的要求，硬把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分給三個兄弟，那么，并沒有把17匹馬全部分完，還剩下17匹馬的1/18沒有分。

于是我們要考慮一個問題：老人的遺囑是只把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分給三個兒子嗎？如果是，那么剩下的17/18匹給誰呢？

按遺囑中關于把17匹馬全部留給三個兒子的要求，剩下的這些馬還應繼續(xù)分給三兄弟，而且還應該給老大一半，給老二三分之一，給老三九分之一，而且任何有限次總也無法把17匹馬全部分完。

仔細研究老人的遺囑可以發(fā)現(xiàn)，老人的遺囑實際上包含三點要求：第一，把17匹馬全部都分給三個兒子；第二，每給老大一半，就要給老二三分之一、給老三九分之一，所以實際上是要按照1/2∶1/3∶1/9這樣的比例進行分配，而不是只把17匹馬的1/2，1/3，1/9分給三個兒子；第三，不許讓馬流血。

一個分配方案，只要滿足上述條件，就是符合遺囑要求的方案。

老人自己家有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共十八匹馬。按18匹馬的1/2， 1/3，1/9分給三個兄弟，三個兄弟所得的馬的匹數(shù)當然符合1/2∶1/3∶1/9的比例（符合上述第二條要求），而三個兄弟分別得到的9匹、6匹和2匹之和，恰好是17匹（符合上述第一條要求），又沒讓馬流血（符合上述第三條要求），所以智者的辦法是完全符合老人遺囑要求的。

不借用智者的一匹馬也可以執(zhí)行老人的遺囑。為此，把1/2∶1/3∶1/9化簡可得 9∶6∶2， 恰好有9+6+2=17?？梢?，分給長子9匹、次子6匹、幼子2匹，既恰好把17匹馬全都分完，又符合1/2∶1/3∶1/9的比例，又沒有讓馬流血，所以完全合乎老人遺囑的要求。

還用一種不借用智者的一匹馬也能執(zhí)行老人遺囑的辦法：

假如先不考慮老人關于不許殺馬的要求，而硬把17匹馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第一次分配；第一次分配后剩下一部分馬，再把剩下的這部分馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第二次分配；第二次分配后還剩下一部分，再把剩下的這部分馬的一半、三分之一和九分之一分別分給三兄弟，完成第三次分配。照此辦理，任何有限次分配總不能把17匹馬全部分完。而無窮無盡地分下去，三個兄弟所分得的馬各是一個無窮級數(shù)的和，或者說各是一個無窮遞縮等比數(shù)列各項的和。這三個無窮遞縮等比數(shù)列的首項分別是17/2, 17/3,17/9，公比都是1/18,按照無窮遞縮等比數(shù)列的各項和公式可以算出，三兄弟每人分得的馬分別為：9匹，6匹，2匹。

先進行分析和計算，不要認真地動刀進行一次又一次的分配，等到算出了三兄弟每人經過無窮無盡、一次又一次的分配后所分別能夠得到的馬的總匹數(shù)后再統(tǒng)一一次性地分配，就既用不著殺馬，又恰好把17匹馬全部按老人的遺囑所規(guī)定的比例分完，不拆不扣地執(zhí)行了老人的遺囑。

從上面幾種解法來看，智者的辦法計算起來比較簡單，因而確實稱得上是一種十分巧妙的辦法。

分馬的故事，據(jù)說已經在全世界流傳上千年之久了。在流傳過程中有一些變化。例如，有一本書講到這個故事時，講的就是老人共有十九匹馬，遺囑要求分給長子二分之一，分給次子四分之一，分給幼子五分之一。處理辦法也是從別人家借來一匹馬，分完再還給人家。

張景中老師所著《數(shù)學傳奇》一書指出，像上面這樣改變一下數(shù)字的，一共可以有七種變化，就是說，這個故事可以有七種講法。如果在每一種講法中把馬的總匹數(shù)記為n ，把三兄弟分得的比例記為1/X∶1/Y∶1/Z， 則可以列表如下:

講法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

X 2 2 2 2 2 2 2

Y 3 3 3 3 4 4 4

Z 7 8 9 12 5 6 8

n 41 23 17 11 19 11 7

上述七種講法都是關于可以用“借來一匹馬,按規(guī)定的比例分配后恰好剩下一匹,再還回去”的辦法來解的。按本節(jié)前面所述,這些講法都是合理的。

筆者還聽到過這樣一種講法:老人共有十七匹馬,臨終前他留下遺囑說把一半給長子;長子取走后,把剩下的一半給次子；次子取走后把剩下的一半給幼子。 遺囑也要求把十七匹馬都分給三個兒子,而且不許殺馬.

答案說:先從鄰居家借來一匹馬,變成18匹,老大取走一半（即9匹），還剩9匹。然后再從鄰居家借來一匹馬，變成10匹，老二取走一半（即5匹），還剩5匹。然后又從鄰居家借來一匹馬，變成6匹，老三取走一半（即3匹）。最后剩下3匹還給鄰居。

這種講法也很有趣，可是在筆者看來，這種講法在數(shù)學上就不如上面列出的七種講法那么合理了；雖然也把17匹馬都分給了三個兒子，而且沒有殺馬，但是三次借馬湊出三個二分之一，很難說是符合遺囑要求的。因而這種講法只能算是一個智力游戲，算不上真正的數(shù)學。